Erastóstenes - Radio de la Tierra

En esta segunda entrada nos hemos puesto en la piel de Eratóstenes para calcular el radio de la Tierra. Para ello hemos estado el 25 de septiembre en el patio de nuestro colegio tomando medidas de la sombra de un recogedor ( al que llamaremos gnomon) de 77.76cm, perpendicular al papel en el que apuntábamos las medidas. El papel tenía que estar orientado en dirección este-oeste para que la sombra saliera bien. Medimos desde las 12:30 hasta las 14:30 y con cálculos posteriores determinamos que la hora en el que sol estaba en su cenit fueron las 14:03 y la altura de la sombra a esa hora fue 71.11cm.
Aquí hay algunas fotos que sacamos:

 

 El siguiente dato que necesitamos es la distancia desde el Ecuador hasta nuestro colegio y lo podemos calcular tanto con una página web como lo podemos hacer con google maps. Al poner las coordenadas en la página web del Colegio Base con respecto al Ecuador nos da que la distancia es 4452.08km

Para calcular el radio no solo necesitamos nuestros datos sino que también necesitamos los de un colegio a más de 400km (para que no haya mucho error) y a ser posible en el mismo meridiano. Nos han sido proporcionados los datos de dos colegios, uno en Portugal (con el mismo meridiano) y otro en Brasil (que no está en el mismo meridiano pero podemos hacer los cálculos).

Empezaremos con Portugal:

• Altura del gnomon: 103.1cm
• Sombra: 88.5cm
• Coordenadas
• 37º 8' N
• 8º 1' E
• Distancia con respecto al Ecuador: 4118.17km

Restando las dos distancias de los colegios con respecto al Ecuador obtendremos la distancia que existe entre ambos colegios:

4452.08km - 4118.17km = 333.91km - El dato es menor que 400 km, así que puede haber errores en el cálculo.

Ahora necesitamos el ángulo que produce cada una de las sombras, compararlos y sacar el ángulo que crean las dos sombras con respecto al centro de la Tierra.

COLEGIO BASE:

tan (ángulo) = s/h

ángulo = tan (77.1/77.8)

ángulo = 42.4º

COLEGIO PORTUGAL:

tan (ángulo) = s/h

ángulo = tan (88.5/103.1)

ángulo = 40.6º

Ahora que tenemos los dos ángulos lo que hacemos es restarlos para obtener el ángulo con respecto al centro de la Tierra

42.4º - 40.6º = 1.8º

Ahora mediante una simple regla de tres podemos averiguar el perímetro de la Tierra:

360º - P

1.8º - 333.91km

P = 333.91km · 360º / 1.8º = 66 782km

Teniendo el perímetro es fácil calcular el radio:

P = 2 π r

66 782km = 2 π r

r = 10 634.08km

El dato que hemos obtenido es muy diferente al de la realidad, que son 6 371km. Esto se puede deber a errores de cáculco, con las aproximaciones o porque el dato del ángulo que hemos utilizado es muy pequeño (1.8), además ya mencionamos anteriormente que el dato estaría desviado de la realidad al no tener una distancia de más de 400km

Ahora vamos a calcular los datos con un colegio en Brasil, Nosso Mundo:

• Altura del gnomon: 147cm
• Sombra: 50cm
• Distancia del meridiano 0: 4454km
• Distancia con respecto al Ecuador: 2551km

Con estos datos calculamos la distancia entre su colegio y el nuestro primero:

Con este dato ya podemos hacer el resto del problema, para plantearlo aquí tengo un dibujo:

Tenemos que calcular el ángulo "a", para ello utilizaremos la ecuación a = α2 - α1. Aquí vienen los cálculos y la explicación de esta aplicación: 

Finalmente, teniendo el ángulo "a", podemos calcular el perímetro y finalmente el radio: